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2018年11月28日（水）3限

授业に潜入！ おもしろ学問

自然科学科目群／物理学（発展） 量子物理学
粒であり波でもある量子のふるまいを见破る切り札

中家 剛教授
大学院理学研究科

私たちの体をはじめ、すべての物质は原子から成り立っている。「量子」とは、原子やそれを形作る电子、阳子、中性子、さらに小さなニュートリノやクォークなど、私たちの暮らす世界とは异なる法则が働く粒子のこと。その法则は「量子力学」と呼ばれ、物理学の中でもとりわけ难しい分野とされる。
量子力学の扉をいきなりノックする前に、まずは物理学が积み上げてきた歴史や、量子の発见が世界に与えた衝撃に目を向けてみよう。目に见えない量子たちのイメージが头の中で动き出したとき、世界の见方が変わるはずだ。

授业で取り上げる「シュレディンガー方程式」は、量子力学の基础方程式です。量子力学は、分子や原子、电子といった小さな世界（①）の物理现象を记述する学问です。肉眼では捉えられない小さな世界の话ですが、身の周りは量子力学でなければ説明できないものばかりです。

太阳は光を発します。物を燃やせば、炎が辺りを照らします。おそらく太古の时代から、こうした経験を通して、光の存在は人びとに认识されていたはずです。17世纪になると、光の正体を探ろうと、アイザック?ニュートンをはじめ、名立たる科学者が実験を重ねましたが、决定的な确証は见つからないままでした。物体がなぜ光を発するのか。これが説明されたのは、1905年に「量子力学」が诞生してからのことです。

物理方程式は未来を予测する

量子力学の话をする前に、その基本となる物理学の世界を绍介しましょう。私たちの暮らす世界の仕组みを表す最も基本的な方程式は、ニュートンの导き出した「ニュートンの运动方程式（ｍａ＝Ｆ）」です。

物理は意思のない〈もの〉を扱います。人间のように意思を持ち、自由に动きを変えるようなものは扱えません。〈もの〉の持つエネルギーと运动量から、ある时间がたったあとに〈もの〉がどこに移动しているのかを记述するのが运动方程式です。尘は〈もの〉の质量、补は速度の时间変化を示す加速度です。

たとえば、时速60キロメートルというのは、1时间后に60キロメートル先にいることです。当たり前のことに思うかもしれませんが、视点を変えれば、方程式は「未来を予测する」ものであるともいえます。过去に起こった〈もの〉のふるまいもわかります。たとえば、ビックバンの起こった时点を起点にして、その后に起こる动きも予想できるのです。

1900年に量子が発见されるまで、运动方程式はどこでも成り立ちました。运动方程式を使えば、惑星やロケットの打ち上げ、车の走行など、いろいろなものの运动が説明できました。ですが、原子の世界では、この方程式が成り立たなかったのです。これは物理学における大问题でした。

粒子性と波动性の両方を持つ量子の衝撃

もう少し具体的に説明しましょう。物理学には、粒子性と波动性という概念があります。运动方程式でものの动きを考えるときには、粒がここからここに动くというように、〈もの〉を1つの粒として考えます。これは粒子性の考え方です。

波动性は、粒子や场の振动が伝播する现象です。波は固体としては存在しませんが、波がどんなスピードで、どこを通过するのかは観测可能です。3次元の位置と时间を决めれば、波がどこから来て、どこに行くかを説明できるのです。地震の震源地を特定できるのは、こうしたことを示す波动方程式をもとに解析しているからです。

では、光は波か、それとも粒子なのか。この问いを巡って、过去に大论争が起こりました。はじめは波だとする主张が优势でした。回折现象（②）が起こるからです。ところが、1888年にヴィルヘルム?ハルヴァックスが「光电効果」という现象を発见しました。1905年には、アルベルト?アインシュタインが「光电効果理论」を発表し、物理学者たちの认识を大きく変えることになりました。

この现象を海に浮かぶブイに例えて考えてみましょう。（③）波が来ると、すべてのブイが一绪に动きます。しかし、船や人などの个体が、1つのブイだけに衝突すると、そのブイ1つだけが大きく动きます。私たちの体を含めた物体の内部もこのブイと同じで、たくさんの电子が集まっています。光が波ならば、物体に光をぶつけると、すべての电子が同时に动くはずです。しかし、この実験では、光を当てた物质から、电子1つが飞び出したのです。

こうした実験によって导き出された解は、光は粒子と波动、両方の性质を併せ持つということです。目に见え、耳に闻こえ、手に触れられるマクロな世界には、両方の性质を持つものはありません。粒子がたくさん集まれば波动性を持ちますが、粒子1つで波动性を持つものは存在しないのです。そうして、波动性と粒子性を併せ持つ「量子」という概念が诞生しました。

万能だと思われていた运动方程式は、量子の世界では成り立ちませんでした。物理学者たちは、「粒子と波动の両方の性质を持つ方程式があるはずだ」と试行错误しました。そして、1926年に提唱されたのが、エルヴィン?シュレディンガーの提案した「シュレディンガー方程式」です。この方程式を解けば、原子がどのようにふるまうかがわかるのです。

状态の重ねあわせ

量子は、あるときには波のように形がないものに见えるし、また别のときには点のように见えるという両面性を持っている。「さまざまな条件によって、波のようにふるまうこともあるし、粒子のようになることもある。観测されるまでは、波のようにふるまっていると考えてもいいと思います」

4次元の世界を表す相対性理论

量子の世界を理解するうえで、シュレディンガー方程式の他にもう1つ、外せないのはアインシュタインの「相対性理论」です。これは物理学にとって、とても重要な理论です。

私たちは（虫测锄）の3次元の世界に住んでいます。物体ならば、幅、奥行き、高さという3つの指标です。ところで、次元とはなんでしょうか。みなさんはどのように理解していますか。（④）

人との待ちあわせを例に考えてみましょう。3次元で位置を指定すれば、待ち合わせ场所は指定できます。でも、それだけでは不充分です。大切なのは「时间」です。会う场所を决めても、日时が违えば、相手とは出会えない。言い换えれば、3次元の场所と时间さえ决めれば、必ず落ちあうことができるのです。

これは、量子を扱う场合も同じです。2つの原子がぶつかったときの反応を调べたい。それには、待ち合わせの例と同じく、（虫测锄）の座标と时间の情报が必要なのです。そこで、アインシュタインは（虫测锄）の座标に4つ目の次元、时间迟を入れて、方程式を立て直したのです。

私たちは、どんな场所、どんな状况でも时间の流れは一定だと思っています。これは絶対时间と呼ばれる考え方です。古典物理学の方程式はこの考え方にもとづき、3次元座标だけが违うとして考えていたのです。

相対性理论は、时间は相対的なものだと考えます。物体が止まっていれば时间の流れは同じだけれど、动いているときには3次元座标だけでなく、时间の流れ方もそれぞれ异なっているという考え方を导入しました。（⑤）
これは、物理学の常识を覆す発见でした。

量子力学では、原子の动きをより正确に记述するときに、相対性理论と量子力学とをあわせた相対论的量子力学を使います。シュレディンガー方程式に相対性理论を组みあわせれば、さらに新しいことがわかる可能性を秘めているのです。これはすでに、「顿颈谤补肠（ディラック）方程式」で表现できることがわかっています。

物理を理解する决め手はイメージ

授业では、シュレディンガー方程式が生み出された过程を、顺を追って説明します。大学受験を照準にした勉强では、みなさんはきっといくつかの方程式を暗记して、「この问题はこの方程式を使えば解ける」と考えていたはずです。なぜその方程式が出てきたのかを考えたことはありますか。物理学の方程式の解は、イメージと式とが合致してはじめて理解できます。波の方程式を解いたからといって、波を理解したことにはなりません。方程式の解は、イメージを助ける道しるべとなります。

たとえば、波はサインカーブで表现されます。サインカーブから、海面に波が起こる现象をイメージしてみましょう。海の水はたくさんの原子が集まってできています。この原子が风などの影响で一方向に押されると、原子と原子の幅が狭まり、その间にある原子は、スペースをなくして上に持ち上がります。その后、もう一方向に押されると、今度は原子と原子の间に隙间ができ、原子は下に下がる。こうしたイメージが描けてはじめて、波がどのくらいの速度で动き、どれくらい揺れるかを表した波の解の式も理解ができるのです。（⑥）

さて、これまで説明してきたことは、量子力学の入り口です。シュレディンガー方程式の扉を开けて、量子力学の世界に足を踏みいれてみましょう。シュレディンガー方程式が理解できれば、身の周りの量子力学の现象のほとんどは説明できるようになります。

授业に潜入！

波动関数とシュレディンガー方程式

シュレディンガー方程式の成り立ちに迫る前に、粒子性と波动性をおさらいしましょう。

粒子が伴う性质は、质量や速度、エネルギー、运动量です。エネルギーというのは、「何にどれだけの仕事をさせられるか」を测るものさしです。お汤を温めたり、モーターを回転させたりするその量がエネルギーです。运动量は、「どのくらい重いものが、どのくらいの速度で动いているか」を示すものです。

波の伴う性质は、波の山がいくつあるのかという波数ベクトルk や周波数&辞尘别驳补;です。これらを表す波动方程式を解くと出てくる解が平面波の式です。海の波のように平行に进む波を「平面波」といい、波を理解するための最も重要な性质です。
粒子性と波动性との関係は、アインシュタイン─ド?ブロイ関係式で表せます。

シュレディンガー方程式を导き出す

头の準备体操が终わったところで、いよいよシュレディンガー方程式を考えましょう。小学校の算数の授业でも、平面の図形よりも、立体の図形を考えるときは式が复雑になります。物理学でも同じです。はじめは、1次元から考えてみましょう。
量子は波と粒子の性质を併せ持つので、波の関係式を使って、粒子の情报も含め、方程式を考えてみましょう。つまり、波の関数から、エネルギー（Ε）と运动量（p）を引き出すのです。平面波の式を使い、简略化するために関数&辫蝉颈;（プサイ）で表しましょう。

? はエネルギーではなく、あくまでも演算子です。エネルギーΕは决まった値を持ちますが、? は値ではなく、时间の偏微分をするという演算子です。これで、粒子と波の2つの性质を持つ量子を取り扱うことができます。

こうして导き出された式こそが、シュレディンガー方程式です。ここに出てくる関数&辫蝉颈;をシュレディンガー方程式では、「波动関数」とよびます。この波动関数をさまざまな状况に当てはめて解けば、量子のことがわかるのです。たとえば、3次元で位置エネルギーV ($\chi$)を电磁力のポテンシャルに変えて、方程式を解けば、电子の状态を表す原子轨道が导きだせます。